Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось Men007 02.04.2018, 03:22, всего редактировалось 1 раз.

ПОХУДЕТЬ БЕЗ ДИЕТ? ТЕПЕРЬ ЭТО РЕАЛЬНО!
10 часов назад
СНОГСШИБАТЕЛЬНЫЙ ОБЪЕМ ДЛЯ ТВОИХ РЕСНИЦ
7 часов назад

Вычислить площадь поверхности цилиндра +z^=\alpha ^$» />, расположенного внутри другого цилиндра +y^=\alpha ^$» />.

$S=\int\limit

Решение:
Согласно известной формуле имеем:
\sqrt<1+(\frac<\partial f(x,y)><\partial x>)^+(\frac<\partial f(x,y)><\partial y>)^> dx dy$» />

$z=f(x,y)

-x^>$» />

$\frac<\partia

<\partial x>= — \frac — x^>>$» />

$\frac<\partia

<\partial y>= 0$» />.

$x=r \cos \varphi $

Перейдем к полярной системе координат:
.

$

^ d \varphi \int\limits_^ \sqrt(\cos \varphi)^> <\alpha ^2 - r^(\cos \varphi )^>> r dr $» />

$S=

Не могу понять, как решать полученный интеграл. К тому же, я не уверен в правильности составленного интеграла.
Ответ: $» />.

$\alpha$

Men007
Вы пару раз при записи повторного интеграла поставили , где не нужно бы — перепроверьте, дичь же. Ещё Вы как-то скромно ничего не сказали об одной частной производной (это я занудствую). И ещё Вы забыли частную производную под корнем оквадратить.

Metford
Всё исправил.

$\alpha$

Вы пару раз при записи повторного интеграла поставили , где не нужно бы — перепроверьте, дичь же.

Я думал, что , так как +y^ = \alpha ^ $» /> и +y^ = r^$» />

Последний раз редактировалось thething 02.04.2018, 16:48, всего редактировалось 1 раз.

Men007
Интеграл Ваш надо бы удвоить, т.к., судя по всему, Вы считаете только одну из частей, а поверхность «цилиндр перпендикулярно в цилиндре» состоит как бэ из двух половинок.. Ну а интеграл посчитайте, сперва приведя к общему знаменателю то, что под корнем, упростив, а потом. вроде уже и не так страшно

thething
У меня получился интеграл:
^ d \varphi \int\limits_^ \sqrt>-r^ (\cos \varphi)^>> r dr$» />
И вот я думаю, если ,то мы получаем расходящийся интеграл:
>\int\limits_^ \frac d \varphi$» />
Ну а если нет, то не могу придумать, как можно решить первый интеграл.

Последний раз редактировалось thething 02.04.2018, 18:06, всего редактировалось 2 раз(а).

$t=\sqrt<a^2-r^2\cos^2\varph

Men007
Замена $» /> не?

Все-таки посчитать, или взять

$D$

Еще мне кажется, что у вас что-то не так с параметризацией. Область должна быть прямоугольником с дугами окружностей по бокам. Параметры этих дуг надо высчитать, где там эти цилиндры пересекаются

$\alpha$

Область верная — круг радиуса

ПОХУДЕТЬ БЕЗ ДИЕТ? ТЕПЕРЬ ЭТО РЕАЛЬНО!
10 часов назад
НИКОГДА ЕЩЕ НЕ ВИДЕЛА СВОЮ КОЖУ ТАКОЙ СИЯЮЩЕЙ, КАК ПОСЛЕ...
7 часов назад

Последний раз редактировалось redicka 03.04.2018, 12:58, всего редактировалось 2 раз(а).

Кстати, в этой задаче незачем применять двойной интеграл, если заметить, что площадь поверхности можно вычислить, используя косинусоиду (синусоиду).
Ответ находится просто и быстро.

Последний раз редактировалось redicka 03.04.2018, 20:27, всего редактировалось 1 раз.

Изображение

Нужно вычислить поверхность такой фигуры:

Учитывая, что при развертывании цилиндра на плоскость, сечения цилиндра, которые представляют собой эллипсы переходят в синусоиды (косинусоиды), то искомую поверхность можно вычислить взяв простой интеграл от косинусоиды с подходящими пределами.

Имеется ввиду-так.
=>^<\frac>$» />$» />=

$S=4\int\limits_<\frac<-a\p

Имеется ввиду-так.
>^<\frac>$a$\cos\frac$dt$=$8$\alpha$^2$» />

Отличный метод решения, никогда бы до такого не додумался.
Но задание стоит в теме «Двойные интегралы», поэтому и решать его нужно через двойной интеграл.

$\alpha$

Область верная — круг радиуса

Последний раз редактировалось redicka 03.04.2018, 22:49, всего редактировалось 2 раз(а).

Men007 , переход к полярным координатам не облегчает его взятие.
Если возиться — так в декартовых.
Или возьмите этот одинарный через двойной
Это своеобразная замена координат.

Последний раз редактировалось Men007 04.04.2018, 19:15, всего редактировалось 2 раз(а).

$\frac<

redicka
Я не взялся за декартовы, потому что не совсем понимаю, как в таком случае расставлять пределы интегрирования.
В декартовых я пробовал решать так:
Найдем S$» />:

$\frac<

S= \int\limits_^ dx \int\limits_^ \sqrt>-x^>>$» />

$\frac</

S= 2 a^ \int\limits_^ \frac<\sqrt>dx $» />

$\frac<

S= 2 a^ (\frac<\pi>+\frac<\pi>)$» />

$\frac<

S= 2 a^ \pi$» />

$S

\pi$» />.

$\pi$

Однако ответ без . Скорей всего, ошибка именно в расставлении пределов интегрирования. Я просто не представляю, каким образом их расставить.

Последний раз редактировалось redicka 04.04.2018, 20:26, всего редактировалось 2 раз(а).

$dy$

Men007 , как-то Вы странно расставляете пределы интегрирования. Если область интегрирования круг, какие будут пределы интегрирования
вне зависимости от подинтегральной функции? И где ?

РАСКРЫТ СЕКРЕТ МНОЖЕСТВЕННЫХ ЖЕНСКИХ ОРГАЗМОВ
10 часов назад
UNTOXIC УНИЧТОЖАЕТ ПАРАЗИТОВ И ВОССТАНАВЛИВАЕТ ОРГАНИЗМ
6 часов назад

Читайте также